White Shore: Wzory na sumę kwadratów i sześcianów kolejnych liczb naturalnych

Wzory na sumę kwadratów i sześcianów kolejnych liczb naturalnych

Wszyscy znamy wzór na sumę $n$ pierwszych liczb naturalnych, który jest dany wzorem:

(1)

$1+2+3+\dots+n=\sum_{0\leq k\leq n}k=\frac{(n+1)n}{2}$

Przypisuje się go Gaussowi a jego dowód jest chyba pierwszym dowodem indukcyjnym w życiu każdego człowieka. Wyprowadzenie wzorów na sumę kwadratów lub sześcianów $n$ pierwszych liczb naturalnych jest nieco trudniejsze. Użyjemy do tego za pomocą metody zaburzania. Niech:

(2)

$\mathfrak{S}_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots+n^{2}=\sum_{0\leq k\leq n}k^{2}$

(3)

$\mathfrak{C}_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots+n^{3}=\sum_{0\leq k\leq n}k^{3}$

(4)

$\mathfrak{Q}_{n}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+\dots+n^{4}=\sum_{0\leq k\leq n}k^{4}$

Wzór na $\mathfrak{S}_{n}$ wyprowadzimy niebezpośrednio ze wzoru na $\mathfrak{C}_{n}$ .

(5)

$\mathfrak{C}_{n}+(n+1)^{3}=\sum_{0\leq k\leq n}(k+1)^{3}=\sum_{0\leq k\leq n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=$

(6)

$=\sum_{0\leq k\leq n}k^{3}+3\sum_{0\leq k\leq n}k^{2}+3\sum_{0\leq k\leq n}k+\sum_{0\leq k\leq n}1=$

(7)

$=\mathfrak{C}_{n}+3\mathfrak{S}_{n}+3\frac{(n+1)n}{2}+(n+1)$

Zauważmy, że teraz możemy stronami odjąć $\mathfrak{C}_{n}$ i sprowadzić równość (5) do postaci:

(8)

$3\mathfrak{S}_{n}=(n+1)(n+\frac{1}{2})n\Rightarrow\mathfrak{S}_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Wzór na $\mathfrak{C}_{n}$ wyprowadza się analogicznie ze wzoru na $\mathfrak{Q}_{n}$ :

(9)

$\mathfrak{Q}_{n}+(n+1)^{4}=\sum_{0\leq k\leq n}(k+1)^{4}=\sum_{0\leq k\leq n}(k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1)=$

(10)

$=\sum_{0\leq k\leq n}k^{4}+4\sum_{0\leq k\leq n}k^{3}+6\sum_{0\leq k\leq n}k^{2}+4\sum_{0\leq k\leq n}k+\sum_{0\leq k\leq n}1=$

(11)

$=\mathfrak{Q}_{n}+4\mathfrak{C}_{n}+6\mathfrak{S}_{n}+4\frac{(n+1)n}{2}+(n+1)$

Postępujemy analogicznie i dochodzimy do następującej postaci:

(12)

$4\mathfrak{C}_{n}=(k+1)(k^{3}+k^{2})\Rightarrow\mathfrak{C}_{n}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$

Powyższe rozumowanie można oczywiście zastosować w celu obliczenia wzorów dla wyższych potęg.

wersja strony: 9, ostatnia edycja: 1212334491|%e %b %Y, %H:%M %Z (%O temu)

edytuj tagi historia pliki drukuj narzędzia + opcje