White Shore: Wyznacznik Vandermonde'a

Wyznacznik Vandermonde'a

Wyznacznik Vandermonde'a stopnia $n$ definiujemy następująco

(1)

$V_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1&x_{1}&x^{2}_{1}&\dots &x^{n-1}_{1}\\1&x_{2}&x^{2}_{2}&\dots &x^{n-1}_{2}\\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ 1&x_{n}&x^{2}_{n}&\dots &x^{n-1}_{n}\end{array}\right|$

Należy udowodnić, że

(2)

$V_{n}=\prod_{1\leq k\leq l\leq n}(x_{k}-x_{l})$

W postaci rozwiniętej $V_{n}=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{n}-x_{1})(x_{3}-x_{2})\dots (x_{2}-x_{2})\dots (x_{n}-x_{n-1})$ . W szczególności, jeżeli liczby $x_{1},\dots, x_{n}$ są różne, to wyznacznik Vandermonde'a jest różny od zera. Aby udowodnić wzór (2) stosujemy indukcję względem $n$ . Dla $n=2$ wzór przyjmuje postać $(x_{2}-x_{1})$ . Zakładamy, że wzór zachodzi dla $V_{m}$ , $m<n$ i korzystając z faktu, że wyznacznik nie zmienia wartości po wykonaniu jednej z elementarnych operacji na macierzy, odejmujemy od $i$ -tego wiersza wyznacznika $V_{n}$ wiersz $i-1$ pomnożony przez $x_{1}$ (dla $i=n, n-1,\dots, 2$ ):

(3)

$V_{n}=\left|\begin{array}{cccc}1&1&\dots&1\\0&x_{2}-x_{1}&\dots&x_{n}-x_{1}\\0&x^{2}_{2}-x_{2}x_{1}&\dots&x^{2}_{n}-x_{n}x_{1}\\\dots&\dots&\dots&\dots\\0&x^{n-1}_{2}-x^{n-2}_{2}x_{1}&\dots&x^{n-1}_{n}-x^{n-2}_{n}x_{1}\\\end{array}\right|$

Rozwijamy wyznacznik względem pierwszej kolumny i wyciągamy przed otrzymany wyznacznik stopnia $n-1$ czynnika $x_{j+1}-x_{1}$ z każdej kolumny ( $j=1,\dots, n-1$ ). Otrzymujemy w ten sposób wyrażenie:

(4)

$V_{n}=(x_{n}-x_{1})(x_{n-1}-x_{1})\dots(x_{2}-x_{1})\left|\begin{array}{cccc}1&1&\dots&1\\x_{2}&x_{3}&\dots&x_{n}\\\dots&\dots&\dots&\dots\\x^{n-2}_{2}&x^{n-2}_{3}&\dots&x_{n}^{n-2}\end{array}\right|=$

(5)

$=(x_{n}-x_{1})(x_{n-1}-x_{1})\dots(x_{2}-x_{1})V(x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n})$

z którego wynika (2), ponieważ na mocy założenia indukcyjnego

(6)

$V(x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n})=\prod_{2\leq k<k\leq n}(x_{k}-x_{l})$

wersja strony: 16, ostatnia edycja: 1212334669|%e %b %Y, %H:%M %Z (%O temu)

edytuj tagi historia pliki drukuj narzędzia + opcje