White Shore: Różne zadania z teorii układów równań

Różne zadania z teorii układów równań

Rząd iloczynu macierzy $AB$ jest nie większy od rzędu każdej z macierzy $A$ i $B$ , czyli $rank AB\leq rank A$ i $rank AB\leq rank B$ .

Niech $A=[\alpha_{ij}]_{m\times n}$ , $B=[\beta_{ij}]_{n\times p}$ i $AB=[\gamma_{ij}]_{m\times p}$ , gdzie $\gamma_{ij}=\sum^{n}_{s=1}\alpha_{is}\beta_{sj}$ dla ( $i=1,2,\dots,m,\ j=1,2,\dots,p$ ).

1. $rank AB\leq A$
Wzór na iloczyn macierzy $AB$ przy ustalonym $j$ dla $i=1,2,\dots,m$ można zapisać jako układ równań:

(1)

$\begin{array}{c}\gamma_{1j}=\alpha_{11}\beta_{1j}+\alpha_{12}\beta_{2j}+\dots+\alpha_{1n}\beta_{nj}\\\gamma_{2j}=\alpha_{21}\beta_{2j}+\alpha_{22}\beta_{2j}+\dots+\alpha_{2n}\beta_{nj}\\\dots\\\gamma_{mj}=\alpha_{mj}\beta_{1j}+\alpha_{12}\beta_{2j}+\dots+\alpha_{mn}\beta_{nj} \end{array}$

Układ ten można zapisać w postaci:

(2)

$\left[\begin{array}{c}\gamma_{1j}\\\gamma_{2j}\\\dots\\\gamma_{mj}\end{array}\right]=\beta_{1j}\left[\begin{array}{c}\alpha_{11}\\\alpha_{21}\\\dots\\\alpha_{m1}\end{array}\right]+\beta_{2j}\left[\begin{array}{c}\alpha_{12}\\\alpha_{22}\\\dots\\\alpha_{m2}\end{array}\right]+\dots+\beta_{nj}\left[\begin{array}{c}\alpha_{1n}\\\alpha_{2n}\\\dots\\\alpha_{mn}\end{array}\right]$

Powyższa równość jest prawdziwa dla każdego $j=1,2,\dots,n$ . Tak więc każda kolumna macierzy $AB$ wyraża się w postaci kobinacji liniowej układu kolumn macierzy $A$ , skąd wynika, że $rank AB\leq A$ (jeżeli układ liniowy $A$ wyraża się przez układ liniowy $B$ to $rank A\leq rank B$ ).

2. $rank AB\leq rank B$
Dowód jest analogiczny. Rozpatrujemy jednak układ przy ustalonym $i$ dla każdego $j=1,2,\dots,n$

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ o współczynnikach z ciała $K$ , z $k$ niewiadomymi jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $K^{k}$ .

Rozważmy równanie macierzowe dane wzorem $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ , gdzie $\overrightarrow{0}=\left[\begin{array}{c}0\\0\\\dots\\0\end{array}\right]$ . Niech $C_{1}=\left[\begin{array}{c}\gamma^{(1)}_{1}\\\gamma^{(1)}_{2}\\\dots\\\gamma^{(1)}_{k}\end{array}\right]$ i $C_{2}=\left[\begin{array}{c}\gamma^{(2)}_{1}\\\gamma^{(2)}_{2}\\\dots\\\gamma^{(2)}_{k}\end{array}\right]$ będą rozwiązaniami równania. Wówczas $AC_{1}=AC_{2}=\overrightarrow{0}\Rightarrow AC_{1}+AC_{2}=\overrightarrow{0}\Rightarrow A(C_{1}+C_{2})=\overrightarrow{0}$ oraz $A(\lambda C_{1})=\lambda(AC_{1})=\overrightarrow{0}$ a więc $C_{1}+C_{2}\in K^{k}$ i $\lambda C_{1}\in K^{k}$ . Przestrzeń rozwiązań jest więc podprzestrzenią liniową przestrzeni $K^{k}$ .

wersja strony: 9, ostatnia edycja: 1212441342|%e %b %Y, %H:%M %Z (%O temu)

edytuj tagi historia pliki drukuj narzędzia + opcje